高周波シミュレーションに関する翻訳に、Kramers-Kronig relation(クラマース・クローニッヒの関係式)という言葉が出てくる(例えば、Sパラメータ・モデルを使用したFPGAのパワー・インテグリティ・シミュレーションのp10)。
クラマース・クローニッヒの関係式は、因果律(システム(系)の出力が、過去の入力のみに依存)が成り立つことから導くことができる、系の周波数応答関数H(ω)の実数部と虚数部の間に成り立つ関係式のことである。シミュレーション・モデルの妥当性(因果律を満たすかどうか)を検証するために使用されることがある。
t=0でインパルスが発生したとすると、系のインパルスに対する応答h(t)は、系が因果律を満たすことから、t<0ではh(t)=0なので、単位ステップ関数u(t)=0(t<0)、1(t≧0)を用いて、 h(t)=u(t)×h(t) と書ける。この式の両辺をフーリエ変換すると、単位ステップ関数u(t)のフーリエ変換、-j/ω+πδ(ω)(jは虚数記号、δはデルタ関数(du(t)/dt=δ(t))およびフーリエ変換の性質(畳み込みの定理)、(1/2π)×F(u(t)*h(t))=F(u(t))×F(h(t))(*は畳み込み積分)を用いて、
F(h(t))=H(ω)=F(u(t)×h(t))=(1/2π)×[(-j/ω+πδ(ω))*H(ω)]
となる。H(ω)を実数部Hr(ω)と虚数部Hi(ω)に分けて、H(ω)=Hr(ω)+jHi(ω)と書くと、上の式は、
H(ω)=(1/2π)×[(-j/ω+πδ(ω))*(Hr(ω)+jHi(ω))]
となる。これと、H(ω)=Hr(ω)+jHi(ω)を比較することにより、
Hi(ω)=-(1/πω)*Hr(ω)
Hr(ω)=(1/πω)*Hi(ω)
が得られ、クラマース・クローニッヒの関係式(ヒルベルト変換対)と呼ばれる。
ヒルベルト変換については、以下を参照