MUSIC

レーダーのシミュレーションに関する翻訳に、MUSICという言葉が出てくる(例えば、Keysight W1908 車載レーダーライブラリのp2の図1)。

MUSICは、MUltiple SIgnal Classificationの略で、アレイ・アンテナを用いて、波源(電波の発射元)の個数とそれらの方向を推定するための手法(アルゴリズム)である。マイクロフォン・アレイを用いて音源の方向を推定するためにも利用されている。

アレイ・アンテナにより波源の方向(電波が飛んで来る方向という意味で到来方向(Direction of Arrival、DOA)と呼ばれる)を推定する手法として最も基本的なものは、ビームフォーミング法である。この手法では、アレイ・アンテナを構成する各アンテナ素子からの信号の位相を調整することにより、メインローブ(アレイ・アンテナの指向性が最大となる方向で、主ビームとも呼ばれる)を形成し、それを全方向にわたって走査することにより、アレイ・アンテナからの出力が大きくなる方向を波源の方向として求める。この手法では、近接した方向を分離するために(高い角度分解能を得るために)指向性の鋭いメインローブが必要であり、そのために、素子数の多い(したがって、高価な)アレイ・アンテナが必要になるという欠点がある。少ない素子数で角度分解能を大幅に高める手法として、MUSIC法がある。MUSIC法も軍事技術での研究が元になっているが、素子数が少なく安価に高分解能が得られることから、自動車に搭載する衝突防止用ミリ波レーダーや電子機器のノイズ源の探知などでの利用が研究されている。

MUSIC法は、RALPH 0. SCHMIDTが「Multiple Emitter Location and Signal Parameter Estimation」という論文で名付けた方法で、ここで詳細に説明するのは難しいが、概要は以下のようである。

K個のアンテナ素子が配置されたアレイ・アンテナに、L個の波源から角度θ_l(l=1、2、…、L)で平面波が到達すると、各素子で受信される信号は、行路差d_k×sinθ_l(k=1、2、…、K)に起因する位相差φ_k(l)=2π×(d_k×sinθ_l/λ)のみが異なる信号である。したがって、l番目の到来波の時刻tにおける各素子での複素信号をs_l(t)として、各アンテナ素子が無指向性で素子間結合がない場合は、各素子での時刻tにおける受信信号は、

x(k,t)=Σs_l(t)×exp(jφ_k(l))+v(k,t)、Σはl=1からLまでの和、v(k,t)は平均0、分散σ^2の各素子の内部白色雑音(熱雑音)で各素子毎に独立であると仮定する

と書ける。上の式の各素子の受信信号x(k,t)、k=1、2、…、Kをまとめて転置ベクトルX(t)=[x(1,t)、x(2,t)、…、x(K,t)]^Tで表し、exp(jφ_k(l))=exp(j(2π×(d_k×sinθ_l/λ)))、k=1、2、…、LをまとめてベクトルA=[a(θ_1)、a(θ_2)、…、a(θ_L)]で表し(ベクトルAは各素子での位相差を表し、方向ベクトル(ステアリングベクトル、モードベクトル)と呼ばれる)、s_l(t)、k=1、2、…、Lをまとめて転置ベクトルS(t)=[s_1(t)、s_2(t)、…、s_L(t)]^Tで表わし、v(k,t)、k=1、2、…Kをまとめて転置ベクトルV(t)=[v(1,t)、v(2,t)、…、v(K,t)]^Tで表わすと、

X(t)=AS(t)+V(t)

と書ける。ここで、各素子の受信信号の相関(コヒーレンス)を表わす相関行列Rxxは、

Rxx=E[X(t)X(t)~H]、E[・]はアンサンブル平均または時間平均、X(t)~HはX(t)のエルミート共役を表わす
=AE[S(t)S(t)~H]A~H+σ^2I、IはK×Kの単位行列
=ASA~H+σ^2I、S=E[S(t)S(t)~H]は到来波の相関行列 (1)

と表される。線形代数学の結果を用いると、入射するK個の信号に相関がない場合(インコヒーレントの場合)は、Rxxは、その固有値λ_kと固有ベクトルv_k、k=1、2、…、Kに分解でき、

Rxx=VΛV~H、ここで、V=[v_1、v_2、…、v_K]、Λ=対角成分が固有値λ_k(k=1、2、…K)の対角行列

となる。各素子での信号と雑音が無相関の場合は、固有値には、

λ_1≧λ_2≧…≧λ_L>λ_L+1=…=λ_K=σ^2

の関係があり、L個の固有値は雑音電力σ^2より大きく、(K-L)個の固有値はσ^2に等しくなる。この結果から到来波の個数Lがわかる。

また、σ^2の固有値に対応する固有ベクトルを[e_L+1、e_L+2、…、e_L+K]=[v_L+1、v_L+2、…、v_L+K]と書くと、(1)式から、

Rxxe_i=(ASA~H+σ^2I)e_i=λ_ie_i=σ^2e_i、(i=L+1、…、K)

が成り立つことから、ASA~He_i=0、(i=L+1、…、K)が得られる。AとSのランクはKで正則なので(入射するK個の信号に相関がないと仮定しているので)、A~He_i=0、(i=L+1、…、K)である。上でA=[a(θ_1)、a(θ_2)、…、a(θ_L)]と定義しているので、これは、

a~H(θ_l)e_i=0、(l=1、2、…、L;i=L+1、…、K) (2)

と書け、到来波の方向ベクトルと雑音の固有ベクトルが直交していることがわかる。

MUSIC法では、

Pmusic(θ)=a~H(θ)a(θ)/Σ|a~H(θ_l)e_i|^2、Σはi=L+1からKまでの和

で表される関数を定義し、θを掃引することにより、θが到来波の方向と一致すると(すなわち、θ=θ_1、θ_2、…、θ_Lのときに)、(2)式からPmusic(θ)の分母がゼロになり、Pmusic(θ)が鋭いピークを示すので、高分解能で到来方向を推定できる。

MUSIC法については、以下を参照。

狭帯域信号の到来方向推定

MUSIC法による高分解能推定

Multiple Emitter Location and Signal Parameter Estimation(MUSIC法の原論文)

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