Fourier transform and inverse Fourier transform(フーリエ変換と逆フーリエ変換)

図1

図2

周波数領域(周波数ドメインとも呼ぶ)の測定器(ネットワーク・アナライザなど)や時間領域(タイム・ドメインとも呼ぶ)の測定器(オシロスコープなど)のドキュメントの翻訳に、”Fourier transform”、”inverse Fourier transform”という言葉がよく出てくる。例えば、ベクトル・ネットワーク・アナライザとオシロスコープによるTDR測定の相関の検証と性能の比較がある。

時間領域のデータ(波形)を周波数領域のデータ(スペクトラム)に変換することを「フーリエ変換」といい、その逆を逆フーリエ変換という。例えば、時間/周波数/モーダル・ドメインの概要の6ページを読めば、時間領域の波形と周波数領域のスペクトラムは同じデータを別の方向から見ているだけということがわかる。以下で、フーリエ変換と逆フーリエ変換の式を導いておく。

任意の周期関数は、図1のように、その基本波周波数ωとn次高調波周波数nωのsinとcosの無限和で表わすこと(フーリエ級数展開)が可能である。フーリエ級数展開は、オイラーの公式を用いて、複素数表示できる。ここで、基本波周波数ωを0に近づける(周期Tを無限大にする)ことで、周波数領域のスペクトラムを連続化すると、逆フーリエ変換とフーリエ変換の式が得られる。すなわち、周期的に繰り返される時間波形しか扱えないフーリエ級数展開から、周期性のない波形を扱えるフーリエ変換となる。時間領域の連続関数から周波数領域の連続関数に変換することをフーリエ変換といい、その逆を逆フーリエ変換という。

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