信号解析に関する翻訳に、cross power spectrum(クロス・パワー・スペクトラム)という言葉がよく出てくる(例えば、89601B/BN-200 基本ベクトル信号解析 89601B/BN-300 ハードウェア・インタフェース 89600 VSAソフトウェアのp11)
2つの信号の時間変化x(t)とy(t)が測定で得られたとする。この2つの信号の類似性(相関)の強さを定量化するために用いられるのが相互相関関数であり、以下のように定義される。
Cxy(τ)=lim(1/T)∫x(t)y(t+τ)dt、積分範囲は-T/2~T/2で、T→∞の極限をとる
(離散量では、C(τ)=(1/N)Σx(i)y(i+τ)、和の範囲はi=1~N、(τ=1、2、…、N)
この式からわかるように、相互相関関数は、内積を一般化したものになっている。
2つのベクトル(X=(X1,X2,…,Xn)、Y=(Y1,Y2,…,Yn))の内積(X・Y)とは
X・Y=X1×Y1+X2×Y2+…+Xn×Yn=|X||Y|cosθ、|X|はベクトルXの大きさ、θはベクトルXとYのなす角
であり、一方のベクトルXが他方のベクトルYの成分をどれだけ持つか(X・Y/|X|=|Y|cosθ)を表していた。すなわち、ベクトルXとYのなす角がゼロに近いほど(言い換えると、ベクトルXとYが似ているほど)、大きな値になるので、内積の値はベクトルXとYの類似度(相関)を表している。
したがって、相互相関関数は、ベクトルX、Yの内積を関数x(t)、y(t)の内積に拡張し、y(t)を時間軸方向にτずらしながら内積を計算して、2つの信号の時間変化x(t)、y(t)の類似性を調べる関数であると言える。
クロス・パワー・スペクトラムSxy(ω)とは、この相互相関関数Cxy(τ)をフーリエ変換したもので、
Sxy(ω)=(1/2π)∫Cxy(τ)exp(-iωτ)dτ、積分範囲は-∞~∞
Cxy(τ)=∫Sxy(ω)exp(iωτ)dω、積分範囲は-∞~∞
である。
また、上のCxy(τ)の定義式から、
Cxy(τ)=lim(1/T)∫x(t)y(t+τ)dt
=lim(1/T)∫x(t)∫Y(ω)exp(iω(t+τ))dωdt(y(t+τ)のフーリエ変換を代入した)
=lim(1/T)∫∫x(t)exp(iωt)Y(ω)exp(iωτ)dωdt
=∫lim(1/T)[∫x(t)exp(iωt)dt]Y(ω)exp(iωτ)dω
=∫lim(2π/T)X(-ω)Y(ω)exp(iωτ)dω(X(-ω)の逆フーリエ変換を代入した)
=∫[lim(2π/T)X*(ω)Y(ω)]exp(iωτ)dω(x(t)は実数なのでX(-ω)=X*(ω)、X*(ω)はX(ω)の複素共役)
と計算できるので、
Sxy(ω)=lim(2π/T)X*(ω)Y(ω)
となる。
この式から、クロス・パワー・スペクトラムSxy(ω)は、2つの信号に含まれている同じ周波数成分ωの正弦波がどれだけの相関を持っているかを定量化したものであると言える。
クロス・パワー・スペクトラムについては、以下を参照。
広島大学工学部第一類 材料成形研究室 プラズマ・核融合研究グループのホームページ > 計測工学 > 講義ノート 第2章 スペクトル解析の基礎