先日NHKの「白熱教室」という番組で、オックスフォードの人気数学教授が数学のおもしろさを紹介する、みたいな授業をしていてとても楽しめました。
数列｛1,2,4,8,16,…｝があります。
「16」の次にはどんな数字が来るでしょう？という問題で
前の数字を2倍していけばいいので誰でも「32」と答えたくなりますが
「31」も正解だというのです。
その理由は、円周上の点を増やしていったときの円の分割領域の個数で、
この数列｛1,2,4,8,16,31,57,99,163,…｝はモーザー数列といって一般項は
Ｍn=(n^4-6n^3+23n^2-18n+24)／24
で求められる、と紹介していました。
学生時代数学をやっていた僕はこういうのを聞くと証明したくなるんですが、
社会人になって数学から離れ酒ばかり飲んでる今の僕には到底無理なわけで、
早速WEBで答えを探しました。
「すべての領域にラベルを与えると，ラベルを含む数の個数は0,1,2,3,4のいずれかであって」
というところの意味が、わかりません（汗；
仕方なく別の解答を探してみると、n=7の場合が灘中学の入試問題にありました。
こんな解答、よく短時間で思いつくよなあ。。。と思いつつ、この概念で一般化すると
Ｍn+1－Ｍn＝増えた領域の個数
＝増えた線分の本数
＝増えた交点の個数＋n
＝n+1Ｃ4－nＣ4＋n (*)
(*)交点の個数はn個の頂点から4個選ぶ組み合わせだから
nＣ4＝n(n-1)(n-2)(n-3)／4!
あとは漸化式を解けばいいので高校数学ですね。あースッキリした！