Method of Moments(モーメント法)

電磁界シミュレーションに関する翻訳に、Method of Moments(モーメント法)という言葉がよく出てくる(例えば、Agilent EEsof EDA E8921A/AN Momentum)。

電子デバイスの高周波化/高密度化にともなって、伝送線路が電磁界による相互作用によりL成分やC成分を持つようになる。また、伝送線路も複雑な形状になり、電磁相互作用を解析的に(方程式を立てて式変形して)直接解くことはできない。このような場合は、問題の領域を離散化して数値的に解く必要がある。これを行うための手法の1つがモーメント法である。モーメント法を簡単に説明するのは難しいが、概要は以下のようである。

Lを微分演算や積分演算などを含む適当な線形演算子、f(x)を求めたい未知の関数(電流や電荷)、g(x)を与えられた既知の関数(入射電界や励振電界)とすると、系の支配方程式は、

L(f(x))=g(x)

となる。ここで、求めたいf(x)を境界条件を満たす基底関数列f_n(x)(n=1、2、・・・、N)で、

f(x)≒Σa_n×f_n(x)、a_nは求めたい展開係数

と展開して、L(f(x))=g(x)に代入すると、

Σa_n×L(f_n(x))≒g(x)、残差R=g(x)-Σa_n×L(f_n(x))

となる。ここで、基底関数f_n(x’)と重み関数f_m(x)(m=1、2、・・・、N)の内積(モーメント)を、

<f_m、f_n>=∫f_m(x)×f_n(x’)dx’dx

で定義する。展開係数a_nが適切に求まると残差Rはゼロに近づくので、残差R=g(x)-Σa_n×L(f_n(x))とf_m(x)の内積がゼロになることから、

Σa_n×<f_m(x)、L(f_n(x))>=<f_m(x)、g(x)>、m=1、2、・・・、N

となる。これは、z_mn=<f_m(x)、L(f_n(x))>を要素とするN×Nの行列Z、求めたい展開係数を要素とするベクトルa、<f_m(x)、g(x)>(m=1、2、・・・、N)を要素とするベクトルbを用いて、書き直すと、

Za=b

の連立方程式である。これを数値計算手法で解けば、展開係数を有限個(N個)で打ち切ったときの近似解aが得られる。

モーメント法については、以下を参照

モーメント法

電子情報学会 知識ベース 知識の森 > 4群 モバイル・無線 > 2編 アンテナ・伝搬 > 10-3 モーメント法

Surface Integral Equations and the Boundary Element Method(英語PDF)

skin effect(表皮効果)

電磁界シミュレーションに関する翻訳に、skin effect(表皮効果)という言葉がよく出てくる(例えば、Agilent EEsof EDA E8921A/AN Momentumのp6)。

導線に直流電流が流れている場合は、電流は導線の断面に一様に分布して流れる。しかし、導線に交流電流が流れる場合は、交流の周波数の増加とともに、導線の断面の外側(導線の表面)に電流が集中し(電流密度が高くなり)、導線の中心に向かうに従って電流が流れ難く(電流密度が低く)なる。この現象を表皮効果と言う。表皮効果は以下のように定性的に説明できる。

導線に直流電流を流すと、アンペールの右ねじの法則により、電流の流れる向きの同心円上に静磁界ができる。この磁界は導線の内部にも生じている。導線に交流電流を流すと、同様に、導線の内部に時間的に変化する磁界が生じる。この時間的に変化する磁界は、ファラデーの電磁誘導法則により、その磁界の回りに渦電流を生じさせる(Skin effectを参照)。この渦電流の向きは、導線の(断面の)中心では元の交流電流と逆向きになり元の交流電流をキャンセルし、導線の表面(導体の断面の外側)では元の交流電流と同じ向きになり元の交流電流を強める。結果として、導線の表面に電流が集中して流れる。

表皮効果の詳細については、以下を参照

伊藤 洋のページ > 講義ノート > 電気学7.発電(ファラデーの法則と発電機)の「渦電流と表皮効果」の項

image response(イメージ応答)

スペクトラム/シグナル・アナライザに関する翻訳に、image response(イメージ応答)という言葉がよく出てくる(例えば、Agilent M9391A PXIeベクトル・シグナル・アナライザのp15)。

ミキサを使用して、周波数の高いRF信号(周波数:Frf)を、その周波数に非常に近い周波数(Flo)の局部発振器信号(LO信号)とミックス(混合)することにより、これらの差周波数であるIF(中間周波)信号(周波数:Fif、この周波数は、低周波なので、回路内で扱いやすくなる)が得られる。これを式で表すと、

Fif=Frf-Flo

となる。これは、目的のRF信号の周波数FrfがLO信号の周波数Floより高い場合(Frf > Flo)である。

しかし、Floより低く、かつFlo-Fim=Fifとなる周波数Fimの信号がミキサに入力されても、同じIF周波数Fifの信号が生じる。周波数Fim(=Flo-Fif)のこの信号をイメージ(影像)信号と呼び(LO信号の周波数Floに対して、周波数Frf(=Flo+Fif)の目的のRF信号と左右対称な位置関係にあるので)、そのイメージ信号によるミキサの応答のことをイメージ応答と呼ぶ。通常、イメージ信号による応答は、目的のRF信号による応答を妨害する不要な応答なので、ミキサに入力される前にプリセレクタ(フィルタ)を用いて除去される。

Windows 7版Internet Explorer 11リリース

ie11win7Windows 7のInternet Explorer 11がリリースされました。

さっそく、懸案のType 1フォントの問題について、テストしてみました。

テスト環境
Windows 7 Pro SP1 64bit
Windows Server 2008R2 SP1

それぞれの環境には「Courier」と「Helvetica」のType1フォントがインストール済み。

テストに使用したのは、これまでと同じオンラインヘルプです。

結果、ファイルが問題なく表示されることを確認しました。IE9から続いてきた問題がようやく解消されました。影響を受けたのはごく一部のユーザかも知れませんが、何はともあれ、めでたし、めでたしです。

Kramers-Kronig relation(クラマース・クローニッヒの関係式)

高周波シミュレーションに関する翻訳に、Kramers-Kronig relation(クラマース・クローニッヒの関係式)という言葉が出てくる(例えば、Sパラメータ・モデルを使用したFPGAのパワー・インテグリティ・シミュレーションのp10)。

クラマース・クローニッヒの関係式は、因果律(システム(系)の出力が、過去の入力のみに依存)が成り立つことから導くことができる、系の周波数応答関数H(ω)の実数部と虚数部の間に成り立つ関係式のことである。シミュレーション・モデルの妥当性(因果律を満たすかどうか)を検証するために使用されることがある。

t=0でインパルスが発生したとすると、系のインパルスに対する応答h(t)は、系が因果律を満たすことから、t<0ではh(t)=0なので、単位ステップ関数u(t)=0(t<0)、1(t≧0)を用いて、 h(t)=u(t)×h(t) と書ける。この式の両辺をフーリエ変換すると、単位ステップ関数u(t)のフーリエ変換、-j/ω+πδ(ω)(jは虚数記号、δはデルタ関数(du(t)/dt=δ(t))およびフーリエ変換の性質(畳み込みの定理)、(1/2π)×F(u(t)*h(t))=F(u(t))×F(h(t))(*は畳み込み積分)を用いて、

F(h(t))=H(ω)=F(u(t)×h(t))=(1/2π)×[(-j/ω+πδ(ω))*H(ω)]

となる。H(ω)を実数部Hr(ω)と虚数部Hi(ω)に分けて、H(ω)=Hr(ω)+jHi(ω)と書くと、上の式は、

H(ω)=(1/2π)×[(-j/ω+πδ(ω))*(Hr(ω)+jHi(ω))]

となる。これと、H(ω)=Hr(ω)+jHi(ω)を比較することにより、

Hi(ω)=-(1/πω)*Hr(ω)
Hr(ω)=(1/πω)*Hi(ω)

が得られ、クラマース・クローニッヒの関係式(ヒルベルト変換対)と呼ばれる。

ヒルベルト変換については、以下を参照

ヒルベルト変換は、どんなん?