cross power spectrum(クロス・パワー・スペクトラム)

信号解析に関する翻訳に、cross power spectrum(クロス・パワー・スペクトラム)という言葉がよく出てくる(例えば、89601B/BN-200 基本ベクトル信号解析 89601B/BN-300 ハードウェア・インタフェース 89600 VSAソフトウェアのp11)

2つの信号の時間変化x(t)とy(t)が測定で得られたとする。この2つの信号の類似性(相関)の強さを定量化するために用いられるのが相互相関関数であり、以下のように定義される。

Cxy(τ)=lim(1/T)∫x(t)y(t+τ)dt、積分範囲は-T/2~T/2で、T→∞の極限をとる
(離散量では、C(τ)=(1/N)Σx(i)y(i+τ)、和の範囲はi=1~N、(τ=1、2、…、N)

この式からわかるように、相互相関関数は、内積を一般化したものになっている。

2つのベクトル(X=(X1,X2,…,Xn)、Y=(Y1,Y2,…,Yn))の内積(X・Y)とは

X・Y=X1×Y1+X2×Y2+…+Xn×Yn=|X||Y|cosθ、|X|はベクトルXの大きさ、θはベクトルXとYのなす角

であり、一方のベクトルXが他方のベクトルYの成分をどれだけ持つか(X・Y/|X|=|Y|cosθ)を表していた。すなわち、ベクトルXとYのなす角がゼロに近いほど(言い換えると、ベクトルXとYが似ているほど)、大きな値になるので、内積の値はベクトルXとYの類似度(相関)を表している。

したがって、相互相関関数は、ベクトルX、Yの内積を関数x(t)、y(t)の内積に拡張し、y(t)を時間軸方向にτずらしながら内積を計算して、2つの信号の時間変化x(t)、y(t)の類似性を調べる関数であると言える。

クロス・パワー・スペクトラムSxy(ω)とは、この相互相関関数Cxy(τ)をフーリエ変換したもので、

Sxy(ω)=(1/2π)∫Cxy(τ)exp(-iωτ)dτ、積分範囲は-∞~∞

Cxy(τ)=∫Sxy(ω)exp(iωτ)dω、積分範囲は-∞~∞

である。

また、上のCxy(τ)の定義式から、

Cxy(τ)=lim(1/T)∫x(t)y(t+τ)dt
=lim(1/T)∫x(t)∫Y(ω)exp(iω(t+τ))dωdt(y(t+τ)のフーリエ変換を代入した)
=lim(1/T)∫∫x(t)exp(iωt)Y(ω)exp(iωτ)dωdt
=∫lim(1/T)[∫x(t)exp(iωt)dt]Y(ω)exp(iωτ)dω
=∫lim(2π/T)X(-ω)Y(ω)exp(iωτ)dω(X(-ω)の逆フーリエ変換を代入した)
=∫[lim(2π/T)X*(ω)Y(ω)]exp(iωτ)dω(x(t)は実数なのでX(-ω)=X*(ω)、X*(ω)はX(ω)の複素共役)

と計算できるので、

Sxy(ω)=lim(2π/T)X*(ω)Y(ω)

となる。

この式から、クロス・パワー・スペクトラムSxy(ω)は、2つの信号に含まれている同じ周波数成分ωの正弦波がどれだけの相関を持っているかを定量化したものであると言える。

クロス・パワー・スペクトラムについては、以下を参照。

広島大学工学部第一類 材料成形研究室 プラズマ・核融合研究グループのホームページ > 計測工学 > 講義ノート 第2章 スペクトル解析の基礎

相関とスペクトル解析

IQ Modulation(IQ変調)

デジタル無線通信測定に関する翻訳に、IQ Modulation(IQ変調)という言葉がよく出てくる(例えば、Keysight 81150A/81160A パルス・パターン/ファンクション/任意波形/ノイズ発生器)。IQ Modulation(IQ変調)は、以下の説明からもわかるように、quadrature modulation(直交変調)またはcomplex modulation(複素変調)と呼ばれることもある。

情報(音声やデジタルデータ)を無線伝送するために、電波(搬送波)が使用される。搬送波は、正弦波であり、

Acos(ωt+φ0)、ここで、A:振幅、ω:(角)周波数、φ0:初期位相、ωt+φ0:位相(位相角)

のように表される。

情報を送るためには、情報を表わす信号(音声やデジタルデータ)の変化に応じて、搬送波を変化させる(変調する)必要がある。変化させることのできるパラメータは、上の式の振幅と位相(周波数)だけである(周波数は、正弦波の位相を時間で微分したものであり、同じ変化の異なる表現に過ぎない)。したがって、搬送波は、振幅と位相(角度)による極座標で表わすのが簡単である。

デジタル変調では、デジタルデータをI軸(搬送波と同じ位相(同相成分、In Phase)の軸)とQ軸(搬送波と直交する位相(直交位相成分、Quadrature Phase)の軸)の直交座標上のシンボルポイントとして表わす(コンスタレーション表示)ことが多い。デジタルデータの変化は、コンスタレーション表示では1つのシンボルポイントから別のシンボルポイントへの移動であり、このとき、振幅と位相が同時に変化する(変調される)。高次変調(多値変調)では、特に、このシンボルポイント間の移動(デジタルデータの変化)を表わすために、正確に位相を制御する必要があるが、従来の位相変調器では困難である。しかし、I/Q変調器(直交変調器)を使用すると、以下のように容易に変調できる。このような変調をIQ変調と呼ぶ。

デジタルデータのシンボルポイントは、振幅(A(t))と位相(Φ(t))で表した極座標上の信号(ベクトル)を、I軸とQ軸に射影したもの(I(t)、Q(t))である。デジタル変調では、上の搬送波を表わす式で、振幅Aと位相(ωt+φ0)が時間とともに変化するので、振幅をA(t)、位相をΦ(t)=ωt+θ(t)(簡単のために、初期位相φ0をゼロとし、デジタル変調による位相の変化をθ(t)で表わす)とすると、変調を受けた搬送波(変調波)は、

A(t)cos(ωt+θ(t))

のように表すことができる。これを、三角関数の加法定理で展開すると、

A(t)cos(ωt+θ(t))=A(t)cos(ωt)cos(θ(t))-A(t)sin(ωt)sin(θ(t))
       =I(t)cos(ωt)-Q(t)sin(ωt)
(ここで、I(t)=A(t)cos(θ(t))、Q(t)=A(t)sin(θ(t)))

となる。この変調波は、ベースバンド信号(送りたいデジタルデータ)である、I(t)とQ(t)に対して、搬送波信号を生成するローカル発振器の出力(cos(ωt))と同じローカル発振器の出力を90度位相シフトする移相器に通した信号(-sin(ωt))を、ミキサを使用して乗算して、2つの信号、I(t)×cos(ωt)とQ(t)×(-sin(ωt))を作り、この2つを加算することにより、簡単に生成できる。

IQ変調については、以下を参照。

通信システムのディジタル変調入門編のp7~p11

data valid window(データ有効ウィンドウ)

高速デジタル回路測定に関する翻訳で、data valid window(データ有効ウィンドウ)という言葉がよく出てくる(例えば、EZJIT/EZJIT Plusジッタ解析ソフトウェア(Infiniiumシリーズ・オシロスコープ用))。

CPU、FPGA、ASICなどの大規模集積回路のフラグやレジスタなどの記憶回路にフリップフロップ回路が使用されている。このフリップフロップがデータを正しく受け取って出力信号を生成できるようにするために、セットアップ/ホールド時間というタイミングの制約が定義されている。

セットアップ時間とは、フリップフロップにクロック信号が入る前にデータ信号が安定してなければならない時間(クロック信号のエッジ(立ち上がりまたは立ち下がり)より前で、入力データが変化してはならない最小時間)である。ホールド時間とは、フリップフロップにクロック信号が入った後でデータ信号が安定してなければならない時間(クロック信号のエッジより後で、入力データが変化してはならない最小時間)である。

したがって、データ有効ウィンドウとは、クロック信号の1周期(エッジから次のエッジまでの時間)からセットアップ時間とホールド時間を差し引いたものである。

フリップフロップの動作とセットアップ/ホールド時間については、以下を参照。

宮崎技術研究所の技術講座「電気と電子のお話」5.2.(3-G)順序回路の設計

セットアップ/ホールド時間が存在する理由については、以下を参照。

株式会社アルティマのホームページ > コラム一覧 > 非同期クロックと検証手法

データ有効ウィンドウの詳細については、以下を参照。

Setup and hold checks (part 1)- Static timing analysis in case of flops(英語サイト)