モーザー数列

先日NHKの「白熱教室」という番組で、オックスフォードの人気数学教授が数学のおもしろさを紹介する、みたいな授業をしていてとても楽しめました。

数列{1,2,4,8,16,…}があります。

「16」の次にはどんな数字が来るでしょう?という問題で

前の数字を2倍していけばいいので誰でも「32」と答えたくなりますが
「31」も正解だというのです。

その理由は、円周上の点を増やしていったときの円の分割領域の個数で、

この数列{1,2,4,8,16,31,57,99,163,…}はモーザー数列といって一般項は
Mn=(n^4-6n^3+23n^2-18n+24)/24
で求められる、と紹介していました。

学生時代数学をやっていた僕はこういうのを聞くと証明したくなるんですが、
社会人になって数学から離れ酒ばかり飲んでる今の僕には到底無理なわけで、
早速WEBで答えを探しました。

すべての領域にラベルを与えると,ラベルを含む数の個数は0,1,2,3,4のいずれかであって
というところの意味が、わかりません(汗;

仕方なく別の解答を探してみると、n=7の場合が灘中学の入試問題にありました。

こんな解答、よく短時間で思いつくよなあ。。。と思いつつ、この概念で一般化すると

Mn+1-Mn=増えた領域の個数
      =増えた線分の本数
      =増えた交点の個数+n
      =n+1C4-nC4+n (*)

(*)交点の個数はn個の頂点から4個選ぶ組み合わせだから
nC4=n(n-1)(n-2)(n-3)/4!

あとは漸化式を解けばいいので高校数学ですね。あースッキリした!

けやきひろば秋のビール祭り2013

keyaki13Autumnに続いて、またまた行ってまいりました。ビールの楽園「けやきひろば秋のビール祭り2013」です。

これまで駅前のけやきひろばでの開催でしたが、今回からお隣のさいたまスーパーアリーナへと引越しです。雨が降るあいにくの空模様となりましたが、さっそくアリーナの利点が活かされることとなりました。

会場が全天候OKになっただけではなく、飲食スペースも拡大し出店ブルワリーもパワーアップしています。もはや、一日で全てを飲み尽くすのは難しいレベルとなりました。場所取りの問題さえ解消できれば(有料の指定席もあります)、大人数で行ったほうが手分けしていろいろと楽しめるかもしれません。

それはさておき、これまでの外飲みの爽快さと比べて室内会場はどんなものかと心配だったのですが、それは全くの杞憂でした。天井は高く、空調もバッチリ。ビールは言うまでもなく、アテもリーズナブルで最高のイベントだったと思います。

それでは、来年の春に会場でお会いしましょう。